x

decadimensional

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

x

decadimensional

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

A equação do movimento para o peso na posição x + h é dada pela igualação dessas duas forças:

x

decadimensional

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

x

decadimensional

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem importante que descreve a propagação das ondas – tais como ocorrem na física – tais como ondas sonoras, luminosas ou aquáticas. Ela surge em áreas como a acústica, eletromagnetismo, e dinâmica dos fluidos. Historicamente, o problema de uma corda vibrante como as de um instrumento musical foi estudado por Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange.^[1][2][3][4]

Um pulso viajando através de uma corda com extremidades fixas, como modelado pela equação de onda.

Equações de onda são exemplos de equações diferenciais parciais hiperbólicas, mas existem muitas variações.

Na sua forma mais simples, a equação de onda diz respeito a uma variável de tempo t, uma ou mais variáveis ​​espaciais x₁, x₂, …,x_n, e uma função escalar u = u (x₁, x₂, …, x_n; t), cujos valores poderiam modelar o deslocamento de uma onda. A equação de onda para u é:

$${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$$

onde ∇² é o (espacial) Laplaciano e onde c é uma constante fixa.

Soluções desta equação que são inicialmente zero, fora de alguma região restrita, propagar-se-ão na região a uma velocidade fixa em todas as direções espaciais, assim como ondas físicas a partir de uma perturbação localizada, a constante c é identificada com a velocidade de propagação da onda. Esta equação é linear, da mesma forma que a soma de quaisquer duas soluções é novamente uma solução: na física esta propriedade é chamada princípio da superposição.

A equação sozinha não especifica uma solução, uma solução única é normalmente obtida pela fixação de um problema com outras condições, tais como condições iniciais, que prescrevem o valor e a velocidade da onda. Outra classe importante de problemas especifica as condições de contorno, para as quais as soluções representam ondas estacionárias, ou harmônicos, análogos aos harmônicos de instrumentos musicais.

Para modelos de fenômenos de onda dispersivos, aqueles em que a velocidade de propagação da onda varia com a frequência da onda, a constante c passa a ter a velocidade de fase:

$${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}}$$

A equação da onda elástica em três dimensões descreve a propagação de ondas em meio elástico isotrópico homogêneo. A maioria dos materiais sólidos são elásticos, por isso esta equação descreve fenômenos como as ondas sísmicas na Terra e as ondas de ultra-som usados ​​para detectar falhas em materiais. Enquanto linear, esta equação tem uma forma mais complexa do que as equações acima, como deve contabilizar movimento tanto longitudinal e transversal:

$${\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$$

em que: λ e μ são os chamados parâmetros Lamé descrevendo as propriedades elásticas do meio, ρ é a densidade, f é a função fonte (força motriz), e u é o vetor de deslocamento.

Nota-se que nesta equação, tanto a força quanto o deslocamento são grandezas vetorias . Assim, esta equação é conhecida como a equação de onda do vetor.

Variações da equação de onda também são encontrados na mecânica quântica, física de plasma e relatividade geral.

Equação de onda escalar em uma dimensão espacial[editar | editar código-fonte]

Derivação da equação de onda[editar | editar código-fonte]

A lei de Hooke[editar | editar código-fonte]

A equação de onda no caso unidimensional pode ser derivada a partir da lei de Hooke, da seguinte forma: imagine uma matriz de pequenos pesos de massa m interligados com molas sem massa de comprimento h. As molas têm uma constante elástica k:

Aqui u (x) mede a distância a partir do equilíbrio de massa situado em x. As forças exercidas sobre a massa m na posição x + h são as seguintes:

$${\displaystyle F_{\mathit {Newton}}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}}$$

$${\displaystyle F_{\mathit {Hooke}}=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]}$$

A equação do movimento para o peso na posição x + h é dada pela igualação dessas duas forças:

$${\displaystyle m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}$$

em que a dependência com o tempo de u(x) foi explicitado.

Se o conjunto de pesos consiste em N pesos uniformemente espaçados ao longo do comprimento L = Nh da massa total M = Nm, enquanto a constante da matriz K=k/N, podemos escrever a equação acima como:

$${\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}$$

Tomando o limite N→ ∞, h → 0 e assumindo a suavidade obtém-se:

$${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}}$$

(KL²)/M é o quadrado da velocidade de propagação, neste caso particular.

Solução geral[editar | editar código-fonte]

Para uma equação de onda unidimensional é incomum que sua equação diferencial parcial envolva uma solução geral relativamente simples de ser encontrada. Desse modo,definindo novas variáveis​​:^[5]

$${\displaystyle \xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct}$$

muda a equação de onda em

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0}$$

o que leva a solução geral:

$${\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}$$

ou equivalentemente:

$${\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)}$$

Em outras palavras, as soluções da equação de onda 1D são somas de um certo "viajando" função F e uma função G. "viajar" significa que a forma destas funções arbitrárias individuais no que diz respeito a X permanece, no entanto, as funções são deslocadas para a direita( função F) ou esquerda ( função G) a razão ct. Isso foi obtido por Jean le Rond d'Alembert.^[6]

Outra forma de chegar a este resultado é notar que a equação de onda pode ser reescrita como:

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}$$

e, portanto:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{e}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$$

Estas duas últimas equações são chamadas equações de advenção, uma "viajando" para a esquerda e a outra à direita, ambos com velocidade constante c. Por um problema de valor inicial, as funções arbitrárias F e G podem ser determinadas para satisfazer as condições iniciais:

$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$$

$${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)}$$

O resultado é a fórmula D'Alembert:

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}$$

No sentido clássico, se f (x)∈ C^k e g(x) ∈ C^k−1 , então u(t, x) ∈ C^k. No entanto, as formas de onda F e G podem também ser funções generalizadas, como por exemplo a função de delta. Nesse caso, a solução pode ser interpretado como um impulso que se desloca para a direita ou para a esquerda.

A equação básica de onda é uma equação diferencial linear e por isso vai aderir ao princípio da sobreposição. Isto significa que o deslocamento de líquido causada por dois ou mais ondas é a soma dos deslocamentos que teriam sido causadas por cada onda individual. Além disso, o comportamento de uma onda pode ser analisada pela divisão da onda em componentes, por exemplo, a transformada de Fourier quebra uma onda em componentes senoidais.

Equação de onda escalar em duas dimensões espaciais^[7][editar | editar código-fonte]

Para a dedução da equação da onda bidimensional pode-se pensar no movimento de uma membrana esticada, como a de um tambor, por exemplo. Para tornar a dedução mais simples é preciso admitir certos pressupostos, os quais parecem deslocados da realidade, mas correspondem bem à pequenas deflexões em membranas muito finas:

• A membrana é homogênea, flexível e muito fina, não oferecendo resistência à flexão;

• A membrana é esticada e fixada ao longo do seu contorno no plano xy;
• A tração causada pelo esticamento da membrana é a mesma em todos os pontos e direções, não se alterando durante a movimentação;
• A deflexão da membrana é pequena se comparada ao tamanho da membrana e todos os ângulos de inclinação podem ser considerados pequenos.
  

Definindo T como a força de tração por unidade de comprimento da membrana e considerando um pedaço pequeno dela, tem-se que as forças que agem sobre ele são tangentes à membrana e tem módulo calculado por ${\textstyle T*\Delta x}$ e ${\textstyle T*\Delta y,}$ com ${\textstyle \Delta x}$ e ${\textstyle \Delta y}$ indicados na figura ao lado.

Analisando as forças, tem-se que suas componentes horizontais são dadas por uma multiplicação do módulo pelo cosseno do ângulo. Dado que foi pressuposto que os ângulos são muito pequenos, o valor dos cossenos tende à um. A partir disso, tem-se que as componentes horizontais das forças são quase iguais, de modo a se anularem. Por consequência, se considera que a movimentação da membrana na direção horizontal é desprezível.

Já em relação às componentes verticais das forças tem-se que:

${\displaystyle {T*\Delta y*[u_{x}(x+\Delta x,y_{1})-u_{x}(x,y_{2})]+T*\Delta x*[u_{y}(x_{1},y+\Delta y)-u_{y}(x_{2},y)]}}$

Onde, ${\textstyle u_{x}}$ representa a derivada parcial em relação à ${\textstyle x}$ da função que é solução da equação, ${\textstyle y_{1}}$ e ${\textstyle y_{2}}$ são valores entre ${\textstyle y}$ e ${\textstyle y+\Delta y}$ e ${\textstyle x_{1}}$ e ${\textstyle x_{2}}$ são valores entre ${\textstyle x}$ e ${\textstyle x+\Delta x.}$

Baseando-se na Segunda Lei de Newton, considerando ${\textstyle \rho }$ a massa por unidade de área da membrana e ${\textstyle \Delta A,}$ como ${\textstyle \Delta x*\Delta y}$ e ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}$ como a aceleração:

${\displaystyle \rho *\Delta x*\Delta y=T*\Delta y*[u_{x}(x+\Delta x,y_{1})-u_{x}(x,y_{2})]+T*\Delta x*[u_{y}(x_{1},y+\Delta y)-u_{y}(x_{2},y)]}$

Dividindo os dois lados da equação por ${\textstyle \rho \Delta x\Delta y}$ para fins de simplificação e fazendo o limite de ${\textstyle \Delta x}$ e ${\textstyle \Delta y}$ tendendo à zero, chegamos à equação de onda bidimensional, onde ${\displaystyle c^{2}={\frac {T}{\rho }}:}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}})}$

Ela ainda pode ser reescrita em termos de laplaciano de ${\textstyle u:}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}$

Ou de uma forma mais compacta, tal que:

$${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}$$

Podemos usar a teoria tridimensional para resolver este problema se considerarmos u como uma função em três dimensões, que é independente da terceira dimensão. Se

$${\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}$$

em seguida, a solução de fórmula geral tridimensional torna

$${\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,}$$

onde α e β são as duas primeiras coordenadas na esfera unitária, e dω é o elemento de área sobre a esfera. Esta integral pode ser reescrita como uma parte integrante ao longo do disco D, com o centro (x, y) e um raio de ct:

$${\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .}$$

É evidente que a solução de (t, x, y) depende não só dos dados sobre o cone de luz ,onde

$${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}$$

mas também em dados que são interiores ao cone.

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.


Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.


E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.


E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.



Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.


Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.


Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.


A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.


Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.


Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.


Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.


Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.


Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.


Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.


Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo,  e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.


Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.



a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.



that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.



and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.



but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.



as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

 = entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.


todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico  e quântico.

3]Estruturas.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico,  e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

Matriz categorial de Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].